第二讲 与时俱进的数学教育目录〇、开场白一、数学观与数学教育观1.1 数学观1.2 数学教育观二、数学课程与数学课标三、《义务教育数学课程标准（2011版）》3.1. 课程性质和基本理念3.2. 学段划分与课程内容3.3. 十个关键词四、《普通高中数学课程标准（2017版）》五、课后作业
前些年，网络上一度盛传“数学无用论”，甚至有人喊出口号“数学滚出高考”。这就给新时代的数学教育工作者提出了一个问题：
那么在这样的数学观和数学教育观之下，
无论进行什么样的课程改革，数学课程和数学教学的根本依据都是“数学课程标准”，这是我们教育部门制定的、用来指导中小学数学教学的基础性文件。在我国，数学课程标准又分为
既然这两个文件这么重要，那么我们当然有必要了解一下这两个文件。以上四方面就是本讲的核心内容。
数学观是人们对于数学的本质、规律和活动的认识，反映了某一时期的人们对当时主流数学的见解。因而数学观总是与特定的时代挂钩，纵观数学发展史，数学的发展已经经历了四个高峰，即：
在古希腊之前的数学，以青铜时代的四大河谷文明的古代数学为代表的，没有数学证明，只有算术和经验几何学，而且目的在于解决生活中遇到的实际问题。自古希腊开始，数学有了演绎推理和严密证明，而最早的论证数学开始于约公元前700年左右的泰勒斯和毕达哥拉斯。尤其是欧几里得在《几何原本》中建立起了原始的公理化体系。从此时开始，在相当长的历史时期内，西方人的数学就是古希腊式的几何学。
这种情况在牛顿、莱布尼兹生活的时代发生了变化。在那个时代，航海、军事、工业等方面的强烈要求解决函数求导和积分的问题，古希腊式的几何学已经不适用了，数学家根本来不及建立严密的微积分理论。牛顿和莱布尼兹所发明的微积分，在当时仅仅是“能用就行”：没有严格地定义极限，也没有完善的实数理论，基础是谁也说不清楚的所谓“无穷小量”。所以，作为当时主流数学的微积分，在当时仅仅是一种“说不清楚”但是“能用就行”的无穷小算法而已。虽然基础不牢固，但是在工业经济的强烈需求下，微积分就是在这种“说不清楚”的状态中发展了130多年。
这种情况到18世纪晚期发生了变化，1789年法国大革命以及后来的拿破仑战争彻底改变了法国的社会面貌并促使德国发生转变，两国的数学发展随之进入了快车道。最先是法国数学界开始呼唤微积分基础的严密化，这项工作最终在法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯手中基本实现，从而开始第三个数学高峰。数学家们开始致力于数学基础的严密化。这个时代的高潮出现在19世纪末到20世纪中叶的五六十年间。首先是1899年，希尔伯特出版了《几何基础》，将欧几里得的比较原始公理体系严密化，建立起现代公理体系，形式主义数学观成为主流。
希尔伯特认为，绝对严密的公理体系应该形式化推理结果，应该刨除直观想象的干扰。在希尔伯特几何体系中，有三个无定义的基本对象：点、直线、平面；还有三个无定义的基本关系：结合、顺序、合同。由于基本对象和基本关系没有定义，所以它们仅仅是形式而已，与我们的直观体会没有任何关系。那么基本对象和基本关系由什么来刻画呢？希尔伯特给出了五组共二十条公理，并且证明了这个公理体系具有相容性、独立性和完备性，从而使得所有欧氏几何的定理都可以在这个体系内部通过形式化的推理得到。
到了20世纪30年代，法国出现布尔巴基学派，将形式主义数学观推向了巅峰。布尔巴基学派强调结构，他们提出三种数学母结构，即代数结构（如群、环、域、体等）、拓扑结构（如各种拓扑空间）、序结构（在各种序关系下建立的结构），他们认为应该从公里集合论出发，利用三种数学母结构构造出已知的所有数学，进而实现数学各分支的公理化。布尔巴基运动对现代数学产生巨大的影响，我们现在学习的泛函、拓扑学、抽象代数等都是受到布尔巴基运动的强烈影响。甚至于曾经长期认为无法公理化的概率论也被前苏联数学家柯尔莫果洛夫实现了公理化，我们现在所学的概率的定义，其实就是柯尔莫果洛夫给出的概率三公理。
但是，这种形式化到了一定的极端后，必然带来脱离现实的问题，以至于英国数学家哈代说出了：“最好的数学就是没用的数学”这样的话。形式主义浪潮收到两个事件的冲击：
这表明极端的形式化是无法实现的。
计算数学和组合数学有大量的小问题，无法通过数学结构将其统一在一个公理体系中，而且这些小问题往往也是布尔巴基学派所无能为力的。尤其是七十年代四色猜想最终依靠计算机得以证明，这标志着一个新的数学时代的到来。四色定理的证明使用了Discharge方法，它本质上依然是严谨的演绎推理，但是在这个证明中有几百种构型要被排除掉（在最初的证明中，有1800多种构型，在九十年代被简化到几百种构型），这个过程无法使用人工完成，最终使用了计算机程序实现。
在我们这个信息爆炸的时代，随着计算机技术的广泛应用，数学已经成为一种可以直接产生经济效益的数学技术。在计算机技术的支持下，当代数学正在越来越关注于应用。另一方面，由于有太多的超大规模的实际问题需要处理，严密的数学推理又一次跟不上时代的需求，这方面有两个典型例子可以说明问题。
能使用计算机快速解决的问题是P问题，即有多项式时间算法的问题，这类问题已经在数学上得到了透彻的研究，依照多项式时间算法可以使用计算机快速解决。但是更多的问题只能使用多项式时间验证但目前不知道有没有多项式时间算法的问题，这就是NP难题。但是NP难题在实际工业生产中又经常遇到，比如芯片设计中经常会遇到大量的NP难题，而且芯片设计的实例往往又具有超大规模（VLSI，超大规模集成电路）。在实际处理，不得不采用一些启发式算法处理。这类算法，我们在数学上几乎说不清楚，我们不知道它们的运算速度究竟有多快，也不知道它们能不能得到最优解，甚至说不清它们给出的解究竟好到什么程度。我们只能通过模拟实验来了解其性能。
大数据技术和机器学习技术在当今时代得到了广泛的应用。它们虽然使用了很多数学，但是它们的数学基础并不坚固。以著名的机器学习程序AlphaGo为例。著名的AlphaGo在短时间内打败很多世界一流的围棋高手，一时间名声大振。它的原理在于，首先要喂给它大量的人类对弈的棋谱供它学习，这个过程称为“训练”，然后才能使它获得强大的棋力。但是这个过程现在很难用数学给出严密的刻画，我们无法预知它最后的下棋策略是如何形成的。AlphaGo的改进型AlphaZero则更加强大，在训练阶段不需要给出人类对弈的棋谱，只需要提供规则，让他自己“闭关修炼”即可。这个过程我们更无法给出严密的数学刻画。
因此，在我们现在所处的第四次数学高峰中，我们可以看到，严谨纯粹的数学和“不太清楚但够用就行”的数学同时并存。所以我们这个时代的数学观出现了如下的特点：
在端正了数学观之后，我们有必要进一步问一下自己，作为一个当代数学教育者，我们应该具备什么样的数学教育观？
从数学知识和技能的角度来看：
从数学核心素养的角度来看：
【上述的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析、直观想象，就是2017版《普通高中数学课程标准》所提出的六素养】
从情感、态度、价值观的角度来看，当代的数学教育的终极目标在于人的培养，在学生的数学教育中要有人情味，所以我们的数学教育应该强调：
关于科学价值和应用价值，大家学了这么多年数学，我就不解释了。关于数学的文化价值，请大家课后详细阅读教材第二章第二节。
最后一个，数学的审美价值：一提起数学美，很多同学可能首先会想到2019年高考数学试题中的维纳斯，这个题目涉及到著名的黄金分割，但是这种美是浅层次的数学美。我们通常说“美”，往往是指美术、音乐、体育中体现出的美，但是这种美是外显的美，数学美虽然有时可能是外显的，比如黄金分割，但是更多情况下是蕴含在内部的美，是一种内蕴美，数学美蕴含于巧妙的思路、严密的逻辑、和谐完美的结论。关于数学美，建议大家阅读吴军老师的《数学之美》。
从教师的自身定位来看：
那么，在这样的数学观和数学教育观之下，我们有必要了解一下我国进行了哪些数学课程改革，这部分内容主要来自第六章《数学课程的制定与改革》。
数学课程制定和改革的指导性文件就是数学课程标准，简称课标，也曾经被称为教学大纲，它规定了数学课程的课程性质、基本理念、课程目标、课程结构、课程内容、实施建议等。
我国数学课程标准的雏形最早出现在1904年清朝政府颁布的《奏定学堂章程》中，《奏定学堂章程》中的某些部分规定了中小学数学科目，但是没有其他详细的规定。随后在北洋政府时期和国民政府时期，我国政府又颁布了很多数学课标（三十余部），但要么编制不详，要么在乱世中缺乏执行力。
数学课程和课标真正的春天出现在新中国建国后。
目前我国使用的小学和初中的数学课标为《义务教育数学课程标准（2011版）》，普通高中使用的数学课标是《普通高中数学课程标准（2017版）》。下面我们简要介绍一下这两个课标的内容和理念。
用一句话概括2011版义务教育数学课标，那就是：三性质、五理念、四内容、十关键
课程性质：
基本理念：
既要面向全体学生，又要适应个性发展。
既要反映社会的需要和数学的特点，又要符合学生的认知规律。
将学生学与教师教在数学教学活动中统一。
建立目标多元、方法多样的评价体系。
注重信息技术与课程内容的整合。
学段划分：
| 学段 | 年级 |
|---|---|
| 第一学段 | 1~3年级（小学低年级） |
| 第二学段 | 4~6年级（小学高年级） |
| 第三学段 | 7~9年级（初级中学） |
7~9年级的课程内容：
数与代数
图形与几何
统计与概率
综合与实践
详细解读请关注中国大学MOOC网站中北大曹一鸣教授开设的慕课：
中学数学课程标准与教材研究
见课件
阅读两个课程标准